<size=48>巜ZF系统浅涉</size> <discussion=68899f002805940f5852f7c0>RRR+申精：『命题逻辑』I命题联结词（知识前置）</discussion> <discussion=696a2e34ff56939d0cddb025>RRR+申精：ZF公理系统 I</discussion> <discussion=6a9156c67669b917e572ab9a>RRR+申精：ZF公理系统ll</discussion> <size=48>巜前言</size> 这一篇是作为一种知识补充。在公理化集合论中，我们不可避免的要谈论大量数理逻辑内容。本文将介绍证明，理论，公理（是时候把yd公理化了！）等等概念的定义。推荐阅读@MapMath的<discussion=6a317b500d2e40be835376ce>【逻辑】项和公式</discussion> 其实我本来不想写文的，但是翻相册的时候看到了一张好好看的图片，于是水了一篇（） 这幅图的右下角有一个5:06a.m.的标签，让我想起了之前早起的时候天也是这样湛蓝静谧，有种宁静满足的感觉 <size=48>巜证明</size> <a><b>“我最近觉得，纯数学的意义在于用有穷研究无限，用寥寥几句话，证明什么任意性之类的，完全地否定掉一些东西。”</b></a> —— MapMath 这是一种很重要的思想，面对ℵ₀这种涉及无穷的事物，一个自然的想法是建立一套有穷的理论去描述它。在ZFC中我们可以谈论很大的无穷，例如强不可达基数，马洛基数等等。但是ZFC理论与描述ZFC的形式语言本身都是有穷的，这让我们能够以有穷把握无穷。这也是形式语言出现的一个重要原因。 接下来我们尝试刻画出<b>“证明”</b>是什么。首先我们定义<b>“推演”</b>： <a>假设L是一个公式集，ψ是一个公式。对于一个有穷的公式序列ψ₁,ψ₂,…,ψn，如果其中任意一个ψi或者属于L，或者是逻辑公理，或者由ψi前的公式ψk和ψj=ψk→ψi得到，且ψn=ψ，那么称ψ₁,ψ₂,…,ψn是从L到ψ的<b>“推演”</b>。记为L├ψ</a> 注意，这个<b>“推演”</b>不完全等于<b>“证明”</b>的原因在于“L是一个公式集而ψ是一个公式”。公式P(x)是可能包含自由变元的，公式的真假可能与x的赋值有关。例如x+1=10的真假取决于x的值。而在证明一个东西的时候，我们肯定不能说什么它取决于x是什么啊什么的，我们要求证明涉及到的公式都具有确定的真假。为此，我们将“公式”限制为不含自由变量，就得到了“语句”： <a>“语句”是不含自由变量的公式</a> 接下来将“推演”定义中的公式改为语句，就得到了<b>“证明”</b>的定义： <a>假设T是一个语句集，σ是一个语句。对于一个有穷的公式序列σ₁,σ₂,…,σn，如果其中任意一个σi或者属于T，或者是逻辑公理，或者由σi前的公式σk和σj=σk→σi得到，且σn=σ，那么称σ₁,σ₂,…,σn是一个从T到σ的<b>“证明”</b>。如果存在一个从T到σ的“证明”，则记为T├σ</a> 这个定义还是比较直观的嘛。比如说我们初中熟悉的几何证明中，每一个步骤要么是欧几里得平面公理，要么是逻辑公理，要么由前面的推演出来。 <size=48>巜理论</size> 让我们想想一些理论，比如平面几何理论吧。尽管平几的难题非常非常的多，但归根结底只要一个命题是在平几内可证明，那这个命题绝对超不出平几理论之所及。从中可以看出，理论要对证明是封闭的：凡是能从T中的语句通过合法证明得到的新语句，其实均在T中。 这样，我们就得到了<b>“理论”</b>的定义： <a>若语句集T满足对于任意语句σ，T├σ当且仅当σ∈T，则称T是<b>“理论”</b></a> 接下来，我们终于可以给出<b>“公理”</b>的定义了： <a>假设T是理论，若存在一个语句集A⊆T，且对于任意σ∈T都有A├σ，则称A为T的一集<b>“公理”</b></a> 欸，这个定义怎么和我们平常见的不太一样？比方说对于平面几何理论而言，除了五大公理构成的语句集M，勾股定理不也是可以由M推导出来的吗？那我当然可以把勾股定理加入M中喽？这样的话，为什么一般认为平几理论的公理还是那5条呢？ 首先，根据定义确实可以这么干。现在数学家所要求的<b>“独立性”</b>是为了追求理论的简单与优美，你也不想学平几的时候直接塞你一个几百条公理的公理集吧hhh；更重要的是，这么干没有必要。若A是T的一集公理，对于T可证明的语句σ，A与A∪{σ}的证明能力没有差别，完全多此一举嘛。 那么我们怎么知道一个理论是不是可以被公理化呢？换一个角度，为什么要公理化一个理论呢？其实还是想偷懒嘛（不是）。如果把理论公理化之后，可以在有限步内用一个完全机械方法判定语句是否是真的，那不是节省了大量脑力吗hhh。 因此，我们要求理论T的公理集A做到：对于任意语句σ∈T，可以在有限步内用一个完全机械方法判定σ是否属于A。此时则称A是<b>可递归的</b>，T是<b>可公理化的</b> 此外，一个重要定义是<b>一致性</b>。理论T是一致的当且仅当不存在语句σ使得为T├σ∧¬σ。如果理论T是可公理化的，我们就可以用一个形式语言中的公式表示“T是一致的”这一命题，记为<b>Con(T)</b>。著名的哥德尔第二不完备定理说： <a>如果A是一个包含Peano公理的递归公理集，且A是一致的，则在A内不可证明Con(A)</a> <size=48>巜模型</size> 首先引入<b>“结构” </b>的概念： <a>集合论语言L<size=20>set</size>的一个结构 (M,G)指一个集合M与M上的一个二元关系G，一般简记为M</a> 那么我们怎么知道一个公式在 (M,G)上是真是假呢？为此，我们引出“满足”这一概念： <a>对于任意集合论语言的公式ψ(x₁x,₂,…,xn)，若对任意的a₁,a₂,…,an∈M，将x₁x,₂,…,xn指派为a₁,a₂,…,an， G解释为∈，则ψ成立。那么称M满足ψ，记作M╞ψ[x₁x,₂,…,xn]</a> 如果ψ是不含自由变元的语句，则记作M╞ψ，此时称M是ψ的<b>模型</b>。如果理论T的所有语句在M中为真，称M是T的模型，记为M╞T。 在数理逻辑中的哥德尔完备性定理说： <a>对任意可公理化的理论T，Con(T)当且仅当存在模型M，M╞T</a> 结合哥德尔第二不完备定理，我们立即发现<b>不能在ZFC内证明ZFC存在一个模型</b>。一个自然的问题是为什么还可以继续用模型研究ZFC呢？原因在于进行相对一致性证明（即Con(A)⇒Con(B)）时，我们通常站在元理论（通常是强于ZFC的理论，比如ZFC+Con(ZFC)，ZFC+V=L等等）的层面研究。例如Cohen的力迫法假定存在一个可数传递模型，证明Con(ZFC)⇒Con(ZFC+¬CH)，这仍然以Con(ZFC)为前提，不违背结论。 众所周知哥德尔通过可构造宇宙L证明了Con(ZFC)⇒Con(ZFC+CH)，其中的一步在于证明L是ZFC的模型。但是一个自然的问题是，哥德尔的<b><a>可构集</a></b>所组成的<b>可构成宇宙L</b>本身是一个真类，但严格来说真类不能是模型。这里的L是一个<b>“类模型”</b>，这是一个较为复杂的概念，涉及相对化、元理论和Tarski定理，这里不作展开。 那么如果我们已经有了一个ψ的模型N╞ψ，该怎么在N内生成一个小模型M呢？一个自然的想法是把ψ中的量词限制在M中，这样就得到了<b>“相对化”</b>： <a>令M为类，ψ是公式，递归定义ψ对M的相对化ψᴹ为： (x=y)ᴹ是x=y (x∈y)ᴹ是x∈y (τ→ψ)ᴹ是τᴹ→ψᴹ (¬ψ)ᴹ是¬ψᴹ (∀x ψ)ᴹ是(∀x∈M)ψᴹ</a> 补个说明：对于命题联结词→，其左右两侧只能放置公式，应而“(τ→ψ)ᴹ是τᴹ→ψᴹ”中的τ和ψ都是公式。一般不会用τ表示公式，而使用varphi，但是我实在打不出来。对于其他的符号可以由以上定义推出，留个小作业吧OwO 证明以下结论： <a>(τ∨ψ)ᴹ是τᴹ∨ψᴹ (τ∧ψ)ᴹ是τᴹ∧ψᴹ (∃xψ)ᴹ是(∃x∈Mψ)ᴹ</a>