<size=48>巜ZF系统浅涉</size> <discussion=68899f002805940f5852f7c0>RRR+申精：『命题逻辑』I命题联结词（知识前置）</discussion> <discussion=696a2e34ff56939d0cddb025>RRR+申精：ZF公理系统 I</discussion> <discussion=6a9156c67669b917e572ab9a>RRR+申精：ZF公理系统ll</discussion> <discussion=6abd12775727d86b08e35d97>RRR+申精：ZF公理系统III</discussion> <size=48>巜前言</size> 假期不可辜负呐，下次发文大概是寒假了。 在<discussion=696a2e34ff56939d0cddb025>RRR+申精：ZF公理系统 I</discussion>中，我们阐述了三个公理；在<discussion=6a9156c67669b917e572ab9a>RRR+申精：ZF公理系统ll</discussion>中，初步定义了相对化。本文的目标是阐述余下的公理，并建立公理的相对化 <size=48>巜ZF的公理</size> 上文中我们给出了3个公理： <color=#00BFFF>0.存在公理：存在一个集合 形式化定义：∃x(x=x)</color> <color=#00BFFF>1.外延公理：若集合X与Y有相同元素，则X与Y相等 形式化定义：∀X∀Y∀u(u∈X→u∈Y)→X=Y)</color> <color=#00BFFF>2.分离公理模式：令ψ(t)是公式。对任意集合X，存在一个集合Y={t∈X|ψ(t)} 形式化定义：∀X∃Y∀t(t∈Y↔t∈X∧ψ(t))</color> 这是远远不够的，接下来我们给出更多的公理以构成ZF系统。 在<discussion=69985d67102b6330141c5a27>集合论l</discussion>中，我们给出了有序对的定义： <a>设A,B是集合，有序对(A,B)为 (A,B)={{A}，{A,B}}</a> 有序对是定义关系、函数的基础。但是问题在于，仅有以上3个公理无法保证{{A}，{A,B}}的存在。为此，我们引入对集公理： <color=#00BFFF>3.对集公理：对于任意两个集合X,Y，存在一个只以X,Y为元素的集合Z 形式化定义：∀X∀Y∃Z(x∈X↔x=Y∨x=Z))</color> 由外延公理可知，集合Z是唯一的，我们称集合Z为<b>对集</b>。当取X=Y时，对集公理断言{X}是集合，称之为<b>单点集</b>。 好啦，现在我们已经可以构建<a>有序对</a>，而分离公理模式断言<a>两集合的差与交</a>仍然是集合，除了差和交，集合的另一个重要运算是幂运算，以下公理保证幂集的存在： <color=#00BFFF>4.幂集公理：对于任意集合X,存在一个集合Y满足u∈Y当且仅当u⊆X 形式化定义：∀X∃Y∀u(u∈Y↔u⊆X)</color> （Y是唯一的，称Y是X的幂集，Y记为ρ(X)） 除了交差幂，我们还需要断言并集的存在。 <color=#00BFFF>5.并集公理：对于任意两个集合X，存在一个集合Y满足：u∈Y当且仅当存在z∈X使得u∈z， 形式化定义：∀X∃Y(u∈Y↔∃z(z∈X∧u∈z))</color> （Y是唯一的，称Y是X的并，Y记为∪X） 我第一次看到这条公理的反应是：<i>huh？</i>这是啥啊。因为这条公理和平常见到的并集感觉一点关系没有嘛。事实上这里的“并”是<a>广义并</a>。广义并其实是这么一个操作：<a>给定一个集合X，用X所有元素的元素(在ZF中，一切对象都是集合)构造一个新集合Y。</a>我们需要广义并的一个原因是：<b>在ZF中，一切对象都是集合。</b>而集合的集合称之为<b>集合族</b>。当我们对一个集合族X进行运算时，自然的操作是取X所有元素的并（也就是广义并）。回想一下高中的并集定义： 对于集合A，B，A∪B={x｜x∈A∧x∈B} 如果继续使用这个二元并定义，一个问题是当面对涉及无限集的并时（下文会提到公理断定无限集存在）我们没办法给出定义。比如，对于X={A₀,A₁,A₂,A₃…}我们想把X的元素一次性合并起来，使用广义并： ∪X=A₀∪A₁∪A₂∪A₃… （注意，右边的∪只是个符号简记，并不是意味着一直取二元并） 如果用二元并定义，我们最多做到一个一个并起来： A₀∪A₁，(A₀∪A₁)∪A₃，… 要想达到∪X，我们需要无穷多步。然而<a>无限多步的推理过程在形式证明中是不被允许的</a>，也就是说我们不能通过二元并构造出∪X，而我们确实需要这样一个∪X。干脆，我们直接用一条公理断言∪X的存在。特别的，对于二元并X∪Y，我们用并集公理和对集公理将其定义为： X∪Y:∪{X,Y} 上文已经出现了无穷集，目前我们不能保证其存在。一个更紧迫的要求是由以上公理，我们已经可以构造 ∅，{∅}，{∅,{∅}}，{∅,{∅},{∅,{∅}}} 如果我们记它们是1，2，3，4，…其实已经构造出了自然数，那么只要保证无穷集 {∅，{∅}，{∅,{∅}}，{∅,{∅},{∅,{∅}}}，…} 的存在，自然数集的构造就完成了！以下公理断言无穷集的存在。首先引入<b>“后继”</b>的概念： <a>对任意集合x，称x∪{x}为x的后继，记为S(x)或x⁺</a> <color=#00BFFF>6.无穷公理：存在集合X，满足∅∈X且对于任意x∈X，S(x)∈X 形式化定义：∃X[∅∈X∧∀x(x∈X→S(x)∈X)]</color> 无穷公理断言{1,2,3,4,…}存在。 以上的公理都是断言某个集合存在，以下公理断言类不是集合： <color=#00BFFF>7.基础公理：对于任意集合x≠∅，存在y∈x使y∩x=∅ 形式化定义：∀x(x≠∅→∃y(y∈x∧x∩y=∅)</color> 这个公理实际上断定对于任意集合x≠∅，总有一个“∈”关系限制在x上的最小元。由基础公理我们立刻得到： <b>任意集合都不属于自身。</b> 反设存在集合x∈x，对于集合X={x}，对于任意X的元素（其实就是x），x∩X=x≠∅。（如果x=∅，由任意元素都不属于∅即证） 同时基础公理保证了不存在“∈”关系的无穷下降链：{A₀,A₁,A₂,A₃…}，对其中任意的An，有A<size=25>n</size>∈A<size=25>n+1</size>。如果有时间写的话，之后会提到这保证了集合的良基性。 <color=#00BFFF>8.替换公理模式：给定公式ψ(x,y)，若对于任意x∈A，都有唯一的y使ψ(x,y)成立，则存在集合B： B={y｜∃x(x∈A∧ψ(x,y))} 形式化定义：∀A∀x∈A∃!yψ(x,y)→∃B∀x∈A∃y∈Bψ(x,y)</color> 这个ψ(x,y)其实是一个函数，所以替换公理模式其实是说集合A的像集B仍然是集合。 值得一提的是替换公理模式其实比分离公理模式更强，替换公理模式可以与别的公理结合可以推出分离公理模式。这里就先不再展开啦。 这9个公理所组成的系统称之为： <b>ZF公理系统</b> <size=48>巜公理的相对化</size> 注意，接下来提到的<b>M</b>一律指类，它可以是真类也可以是集合。另外，我们是在 V 中讨论模型 M，所以可以使用 ZF 的所有定理。“模型 M 是否满足某条公理”是一个关于 M 的命题，可以用ZF的定理来证明。 换句话说，我们要证明的是M中相对化版本的公理（而不是公理本身），自然可以使用ZF的公理和定理。（类似于证明群G的子群H满足结合律，H 是群 G 的子群，而 G 满足结合律，所以 H 中的元素作为 G 的元素也满足结合律。）我们可以使用大结构的性质去证明小结构的某些性质。 在上文我们定义了<b>“相对化”</b>： <a>令M为类，ψ是公式，递归定义ψ对M的相对化ψᴹ为： (x=y)ᴹ是x=y (x∈y)ᴹ是x∈y (τ→ψ)ᴹ是τᴹ→ψᴹ (¬ψ)ᴹ是¬ψᴹ (∀x ψ)ᴹ是(∀x∈M)ψᴹ</a> 补个说明：对于命题联结词→，其左右两侧只能放置公式，应而“(τ→ψ)ᴹ是τᴹ→ψᴹ”中的τ和ψ都是公式。一般不会用τ表示公式，而使用varphi，但是我实在打不出来。对于其他的符号可以由以上定义推出： <a>(τ∨ψ)ᴹ是τᴹ∨ψᴹ (τ∧ψ)ᴹ是τᴹ∧ψᴹ (∃xψ)ᴹ是(∃x∈Mψ)ᴹ</a> 事实上“相对化”通过将量词限制在<b>M</b>中，使我们可讨论公理是否在<b>M</b>中为真。这为使用模型研究ZF提供了前提，接下来给出各公理的相对化并讨论公理在<b>M</b>中为真的条件。 <color=#00BFFF>0.存在公理：∃x(x=x) 相对化：∃x∈M(x=x)</color> 这说明存在公理在<b>M</b>中为真的充要条件是<b>M</b>≠∅ <color=#00BFFF>1.外延公理：∀X∀Y∀u(u∈X→u∈Y)→X=Y 相对化：∀X∈M∀Y∈M∀u∈M((u∈X→u∈Y)→X=Y)</color> 在后文会提到<b>“传递的”</b>：<a>如果 A∈ M，那么 A⊆M </a>。在传递的<b>M</b>中外延公理为真，下给出证明： 设X，Y∈<b>M</b>且X，Y有相同的元素，即 ∀u∈M(u∈X↔u∈Y) 由于<b>M</b>是传递的，这意味着∀u∈X必得∀u∈M，所以说∀u∈M与∀u没有什么区别，因此 ∀u(u∈X↔u∈Y) 由V中的外延公理，X=Y 传递性实际上保证了<b>M</b>中集合的元素不会超出到<b>M</b>外，如果反之，那当我们在<b>M</b>中检查A与B的元素时，可能会漏掉一些元素，这就会导致在<b>M</b>中我们认为A与B拥有相同的元素，但在V中看漏掉的元素会使A≠B。这会导致外延公理在<b>M</b>中失效。 <color=#00BFFF>2.分离公理模式：∀X∃Y∀t(t∈Y↔t∈X∧ψ(t)) 相对化：∀X∈M∃Y∈M∀t∈M(t∈Y↔t∈X∧ψᴹ(t))</color> 如果∀X∈M，{t∈X｜ψᴹ(t)}∈M，那么分离公理模式在M中为真。这个条件不好验证，不过我们讨论的<b>M</b>常有更强的性质：∀X∈M，ρ(X)⊂M。分离公理模式在这样的<b>M</b>中必为真。 <color=#00BFFF>3.对集公理：∀X∀Y∃Z(x∈X↔x=Y∨x=Z) 相对化：∀X∈M∀Y∈M∃Z∈M(x∈X↔x=Y∨x=Z))</color> 只要<b>M</b>对配对运算封闭，即∀X,Y∈M→{X,Y}∈M，则对集公理在<b>M</b>中为真。 <color=#00BFFF>4.幂集公理：∀X∃Y∀u(u∈Y↔u⊆X) 相对化：∀X∈M∃Y∈M∀u∈M(u∈Y↔(u⊆X)ᴹ)</color> 而(u⊆X)ᴹ等价于∀v∈M(v∈u→v∈X)，这又等价于u∩M⊆X，因此幂集公理的相对化等价于 ∀X∈M∃Y∈M∀u∈M(u∈Y↔(u∩M⊆X)) 在传递模型M中，u∈M蕴含u∩M=u。所以X∈M时，(u⊆X)ᴹ↔u⊆X。故在传递模型M中，幂集公理的相对化是： ∀X∈M∃Y∈M∀u∈M(u∈Y↔(u⊆X)) 或者等价的， ∀X∈M∃Y∈M(Y=ρ(X)∩M) 这就是在传递模型M中幂集公理的相对化。 <color=#00BFFF>6.无穷公理：∃X[∅∈X∧∀x(x∈X→S(x)∈X)]</color> 一个问题是相对化针对的是集合论语言的初始概念，但这个后继S(x)是通过定义引入的新函数。虽然在幂级公理中，新关系子集的处理不是很难，但当引入的是常量与函数的时候就很难处理，这需要引入“绝对性”概念（∅与S(x)相对于M都是绝对的），这里暂且不表。 <color=#00BFFF>7.基础公理：∀x(x≠∅→∃y(y∈x∧x∩y=∅) 相对化：∀x∈M((x≠∅)ᴹ→∃y∈M(y∈x∧(x∩y=∅)ᴹ))</color> 对于∅与∩，我们可以用原始概念重述： ∀x∈M(∃z∈M(z∈x)→∃y∈M(y∈x∧∃u(u∈x∧u∈y)) <color=#00BFFF>8.替换公理模式： ∀A∀x∈A∃!yψ(x,y)→∃B∀x∈A∃y∈Bψ(x,y) 相对化： ∀A∈M∀x∈A∃!yψᴹ(x,y)→∃B∈M∀x∈A∃y∈Bψᴹ(x,y)</color> <size=48> 巜结语</size> 她是如此的美丽 亿万年后 仍像遥远的星那样 闪着清冷的光。 <i>新的转机和闪闪星斗， 正在缀满没有遮拦的天空。 那是五千年的象形文字， 那是未来人们凝视的眼睛。</i> （摘自北岛《回答》）